Индикатор (математика)

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества $A\subseteq X$ — это функция, определённая на множестве $X$ , которая указывает на принадлежность элемента $x\in X$ подмножеству $A$ .

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение

Пусть $A\subseteq X$ — выбранное подмножество произвольного множества $X$ . Функция $\mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}$ , определённая следующим образом:

\mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.

называется индикатором множества $A$ .

Альтернативными обозначениями индикатора множества $A$ являются: $\chi _{A}$ или $\mathbf {I} _{A}$ , а иногда даже $A(x)$ а также скобка Айверсона $[x\in A]$ .

(Греческая буква $\chi$ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение $\mathbf {1} _{A}$ может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество $A\subseteq X$ с его индикатором $\mathbf {1} _{A}$ инъективно. Если $A$ и $B$ — два подмножества $X\$ , то

\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},

\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},

\mathbf {1} _{A\triangle B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2(\mathbf {1} _{A\cap B}),

\mathbf {1} _{A^{c}}=1-\mathbf {1} _{A}.

Более обобщённо, предположим $A_{1},\ldots ,A_{n}$ — это набор подмножеств $X$ . Ясно, что для любого $x\in X$

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех $x\in X$ , которые не принадлежат ни одному множеству $A_{k}$ и 0 иначе. Поэтому

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

Разворачивая левую часть, получаем

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}},

где $|F|$ — мощность $F$ . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если $X$ — вероятностное пространство с вероятностной мерой $\mathbf {P}$ , а $A$ — измеримое множество, то индикатор $\mathbf {1} _{A}$ становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности $A:$

E(\mathbf {1} _{A})=\int \limits _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbf {P} =\int \limits _{A}d\mathbf {P} =\mathbf {P} (A).\quad

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также