Антагонистическая игра

Антагонисти́ческая игра́ или игра́ с нулево́й су́ммой (англ. zero-sum game) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой сумма выигрышей и проигрышей всех игроков равна 0. Следовательно, это означает, что выигрыш одного обязательно представляет собой проигрыш для другого.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), $x\in X,y\in Y$ действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила своё название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

Пример

X \ Y	Орёл	Решка
Орёл	-1, 1	1, -1
Решка	1, -1	-1, 1

Простейшим примером антагонистической игры является игра «Орлянка». Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает — он платит первому одну денежную единицу, если угадывает — первый платит ему одну денежную единицу.

В данной игре каждый участник имеет две стратегии: «орёл» и «решка». Множество ситуаций в игре состоит из четырёх элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах — стратегии второго игрока y. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.

В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

F_{1}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\not =y\\-1,&x=y\end{matrix}}\right.,

где x ∈ X и y ∈ Y — стратегии первого и второго игроков, соответственно.

Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то $F_{2}(x,y)=-F_{1}(x,y)$ .

Если результат полностью определяется игроком, совершившим последний ход (если правила хода идентичны для игроков), стратегия может быть найдена с помощью функции Гранди.

См. также

Литература

Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.
Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: Макс-пресс, 2005. — 272 с. — ISBN 5-317-01388-7.