Задача Римана о распаде произвольного разрыва

Задача Римана о распаде произвольного разрыва — задача о построении аналитического решения нестационарных уравнений механики сплошных сред, в применении к распаду произвольного разрыва. Полностью решена в ограниченном круге частных случаев — для уравнений газовой динамики идеального газа и некоторых более точных приближений (т. н. газ с двучленным уравнением состояния) и уравнений теории мелкой воды. Решение для уравнений магнитной газовой динамики построимо, по всей видимости, вплоть до необходимости численного решения одного достаточно сложного обыкновенного дифференциального уравнения.

Постановка

Решается одномерная задача о распаде разрыва — то есть полагается, что до начального момента времени $t=0$ две области пространства с различными значениями термодинамических параметров (для газовой динамики это плотность, скорость и давление газа) были разделены тонкой перегородкой, а в начальный момент времени перегородку убирают. Требуется построить решение (то есть зависимость всех термодинамических параметров от времени и координаты) при произвольных начальных значениях переменных.

Решение задачи о распаде произвольного разрыва состоит в определении газодинамического течения, возникающего при $t>0$. Другими словами, речь идет о решении задачи Коши для уравнений газовой динамики, в которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.

Решение

Решение задачи Римана для идеального изначально покоящего газа с показателем адиабаты $\gamma =5/3$ и относительным скачком давления и плотности $\rho _{L}/\rho _{R}=P_{L}/P_{R}=10$. По оси абсцисс отложена автомодельная переменная (безразмерная координата), по оси ординат — давление, плотность и скорость в относительных единицах. Слева направо: покоящийся газ, волна разрежения, контактный разрыв, ударная волна, покоящийся газ.

Оказывается, что для систем уравнений, записываемых в дивергентной форме, решение будет автомодельным.

Решение ищется в виде набора элементарных волн, определяющегося структурой системы уравнений. В частности, для газовой динамики это: ударная волна, волна разрежения, контактный разрыв. Приведём решение в явном виде для частного случая покоящегося идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$. Пусть в начальный момент давление $P$, плотность $\rho$ и скорость $v$ имеют вид:

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

и $P_{L}>P_{R}$ — волна идёт направо. Тогда в произвольный момент времени $t$ решение имеет вид

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>Dt$
	Невозмущённое вещество	Волна разрежения	Область между фронтом волны разрежения и контактным разрывом	Область между контактным разрывом и фронтом ударной волны	Невозмущённое вещество
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t}}$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho _{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_{2}$	$P_{2}$	$P_{R}$

Здесь $c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L}}}$ — скорость звука в невозмущенной среде слева, $v_{2}$, $P_{2}$, $\rho _{2}$, $c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2}}}$ — параметры газа и скорость звука между фронтом ударной волны и контактным разрывом, $v_{2}$, $P_{2}$, $\rho _{1}$ — параметры газа между контактным разрывом и ударной волной, $D$ — скорость ударной волны. Эти пять параметров определяются из нелинейной системы уравнений, отвечающих законам сохранения энергии, массы и импульса:

$\displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2}}}$

$\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}$

$\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1)\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}$

$\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma }}}$

$\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\gamma -1}}\left(1-\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{L}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{2}}\right)$

Первые три уравнения здесь соответствуют соотношениям Гюгонио для идеального газа, четвёртое и пятое — соотношениям в волне разрежения.

Применение

Решение задачи Римана находит применение в численных методах при решении нестационарных задач с большими разрывами. Именно на решении (точном или приближенном) задачи Римана о распаде разрыва основывается метод Годунова решения систем нестационарных уравнений механики сплошной среды.