Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Обычно оператор производной/интеграла дробного порядка обозначается следующим образом:
Дробное интегро-дифференцирование | |
---|---|
Основная тема | фрактальное исчисление[вд] |
Определяющая формула |
Определения
правитьТри наиболее употребительных формулы:
- Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.
- где .
- Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.
Определения через преобразования
правитьОбозначим непрерывное преобразование Фурье, как :
В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:
Поэтому,
что сводится к
При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном , дифференцирование заменяется умножением
Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно , получаем
Основные свойства
править- Линейность:
- Правило нуля:
- Дробное интегро-дифференцирование произведения:
- Полугрупповое свойство:
в общем случае не выполняется[1].
Некоторые важные формулы
правитьСм. также
правитьПримечания
править- ↑ см. Свойство 2.4 (стр. 75) в книге Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.
Литература
править- Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Мн.: Наука и техника, 1987. — 688 с.
- Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — М.: Наука, 2005. — 199 с.
- Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — ISBN 5-9221-0440-3.
- Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5.
- Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — М., Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.
- Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
- Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. — New York: Gordon and Breach, 1993.
- Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. — New York: Wiley, 1993.
- Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. — Imperial College Press, 2010. — 368 p.
- Podlubny I. Fractional Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1999.
- Ross B. A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus // Lect. Notes Math. — 1975. — Vol. 457. — P. 1—36.
- Tarasov V. E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. — Springer, 2010. — 450 p.
- Uchaikin V. V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. — Springer, Higher Education Press, 2012. — 385 p.