Группа Матьё

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M₁₁^[англ.], M₁₂^[англ.], M₂₂^[англ.], M₂₃^[англ.] и M₂₄^[англ.], введённые Эмилем Леонардом Матьё^[1]^[2]. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Иногда используются обозначения M₉, M₁₀, M₂₀ и M₂₁ для связанных групп (которые действуют на множествах с 9, 10, 20 и 21 точками, соответственно), а именно стабилизаторы точек в бо́льших группах. Хотя они не являются спорадическими простыми группами, они являются подгруппами бо́льших групп и могут быть использованы для их построения. Джон Конвей показал, что можно продолжить эту последовательность, получая группоид Матьё^[англ.] M₁₃, действующий на 13 точек. M₂₁ является простой, но не спорадической группой, будучи изоморфной PSL(3,4).

История

Матьё^[3] ввёл группу M₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и коротко упомянул (на стр. 274) группу M₂₄, указав её порядок. В статье 1873 года^[2] он привёл дополнительные детали, включая явные порождающие множества для этих групп, но группу нелегко увидеть из его аргументов, что сгенерированные группы не просто знакопеременные группы и несколько лет существование групп было под сомнением. Миллер^[4] даже опубликовал статью с ошибочным доказательством, что M₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в статье 1900 года^[5] он признал, что доказательство имело ошибки, и дал доказательство, что группы Матьё просты. Витт^[6]^[7], наконец, прекратил сомнения о существовании этих групп путём построения их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также как группы автоморфизмов систем Штейнера.

После групп Матьё не было обнаружено новых спорадических групп до 1965, когда была открыта группа J₁^[англ.].

Кратно транзитивные группы

Матьё был заинтересован в нахождении кратно транзитивных групп перестановок. Для натурального числа k, группа перестановок G, действующая на n точек, является k-транзитивной, если при задании двух множеств точек a₁, … a_k и b₁, … b_k со свойством, что все a_i различны и все b_i различны, существует элемент g группы G, который отображает a_i в b_i для всех i от 1 до k. Такая группа называется остро k-транзитивной, если элемент g единственен (то есть действие на k-кортежи регулярно (строго транзитивно), а не просто транзитивно).

Группа M₂₄ 5-транзитивна, а группа M₁₂ — остро 5-транзитивна. Другие группы Матьё (простые и не простые), будучи подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, имеют более низкую транзитивность (M₂₃ 4-транзитивна, и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S_k для k не меньшего 4, знакопеременные группы A_k для k, равного 6 и выше, и группы Матьё M₂₄^[англ.], M₂₃^[англ.], M₁₂^[англ.] и M₁₁^[англ.]^[8].

Классическим результатом является результат Жордана, что только симметрическая и знакопеременные группы (степеней k и k + 2 соответственно), а также M₁₂ и M₁₁ являются остро k-транзитивными группами перестановок для k не меньшего 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы^[англ.] и группы Цассенхауса^[англ.]. Группы Цассенхауса, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL(2,F_q), которая является остро 3-транзитивной (см. Двойное отношение) на $q+1$ элементах.

Таблица порядков и транзитивности

Группа	Порядок	Порядок (произведение)	Разложение порядка	Транзитивность	Простая	Спорадическая
M₂₄	244823040	3•16•20•21•22•23•24	2¹⁰•3³•5•7•11•23	5-транзитивная	да	спорадическая
M₂₃	10200960	3•16•20•21•22•23	2⁷•3²•5•7•11•23	4-транзитивная	да	спорадическая
M₂₂	443520	3•16•20•21•22	2⁷•3²•5•7•11	3-транзитивная	да	спорадическая
M₂₁	20160	3•16•20•21	2⁶•3²•5•7	2-транзитивная	да	≈ PSL₃(4)
M₂₀	960	3•16•20	2⁶•3•5	1-транзитивная	нет

M₁₂	95040	8•9•10•11•12	2⁶•3³•5•11	остро 5-транзитивная	да	спорадическая
M₁₁	7920	8•9•10•11	2⁴•3²•5•11	остро 4-транзитивная	да	спорадическая
M₁₀	720	8•9•10	2⁴•3²•5	sостро 3-транзитивная	почти	M₁₀' ≈ Alt₆
M₉	72	8•9	2³•3²	остро 2-транзитивная	нет	≈ PSU₃(2)^[англ.]
M₈	8	8	2³	остро 1-транзитивная (регулярна)	нет	≈ Q

Построение групп Матьё

Группы Матьё можно построить разными способами.

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL₂(F₁₁) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M₁₂, переводит элемент x группы F₁₁ в $4x^{2}-3x^{7}$ , как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному из членов бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂ и тоже оказывается спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A₆. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом^[англ.] группы A₆. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой^[англ.] PSU(3,2²), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M₂₄, переводит элемент x группы F₂₃ в $4x^{4}-3x^{15}$ . Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL₃(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом^[9]. Диксон и Мортимер^[10] приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует с точностью до^[англ.] эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Витта). Группа M₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ является её группой автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F₃×F₃, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W₁₂ — «котёнок» Кёртиса^[11].

Введение в построение W₂₄ с помощью чудесного генератора октад^[англ.] Р. Т. Кёртиса и аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Группы автоморфизмов кодов Голея

Группа M₂₄ является группой автоморфизмов перестановок^[англ.] расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M₁₂:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M₂₄. M₁₂ является стабилизатором кода из 12 единиц. M₁₂:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея, поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис^[англ.] ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матьё как первое поколение.

Dessins d’enfants

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants^[англ.] (фр: детский рисунок)^[12], а рисунок, ассоциированный с M₁₂, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё)^[13].

Примечания

↑ Mathieu, 1861.
↑ ¹ ² Mathieu, 1873.
↑ Mathieu, 1861, с. 271.
↑ Miller, 1898.
↑ Miller, 1900.
↑ Witt, 1938a.
↑ Witt, 1938b.
↑ Cameron, 1999, с. 110.
↑ Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.
↑ Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.
↑ Curtis, 1984.
↑ Буквально — детский рисунок (фр.). Термин предложил Гротендик для одного из видов вложения графов.
↑ le Bruyn, 2007.

Литература

Горенстейн Д. Конечные простые группы. — 1985.
Peter J. Cameron. Permutation Groups. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 45. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-65378-7.
Robert D. Carmichael. Introduction to the theory of groups of finite order. — New York: Dover Publications, 1956. — ISBN 978-0-486-60300-1. Оригинальный год издания: 1937
C. Choi. On Subgroups of M₂₄. I: Stabilizers of Subsets // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972a. — Май (т. 167). — С. 1–27. — doi:10.2307/1996123. — JSTOR 1996123.
C. Choi. On Subgroups of M₂₄. II: the Maximal Subgroups of M₂₄ // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1972b. — Май (т. 167). — С. 29–47. — doi:10.2307/1996124. — JSTOR 1996124.
John Horton Conway. Three lectures on exceptional groups // Finite simple groups / M. B. Powell, Graham Higman. — Boston, MA: Academic Press, 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0. Перепечатано в Conway, Sloane, 1999, pp. 267–298
John Horton Conway, Richard A. Parker, Simon P. Norton, R. T. Curtis, Robert A. Wilson. Atlas of finite groups. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9.
John Horton Conway, Neil J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5.
Curtis R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79, вып. 1. — С. 25–42. — ISSN 0305-0041. — doi:10.1017/S0305004100052075.
Curtis R. T. (1977), "The maximal subgroups of M₂₄", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 81, pp. 185—192, doi:10.1017/S0305004100053251, ISSN 0305-0041, MR 0439926 {{citation}}: Неизвестный параметр |выпуск= игнорируется (справка)
Curtis R. T. The Steiner system S(5, 6, 12), the Mathieu group M₁₂ and the "kitten" // Computational group theory. Proceedings of the London Mathematical Society symposium held in Durham, July 30–August 9, 1982. / Michael D. Atkinson. — Boston, MA: Academic Press, 1984. — С. 353–358. — ISBN 978-0-12-066270-8.
Hans Cuypers. The Mathieu groups and their geometries. — 1998.
John D. Dixon, Brian Mortimer. Permutation groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996. — Т. 163. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94599-6. — doi:10.1007/978-1-4612-0731-3.
Ferdinand Georg Frobenius. Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen. — Mouton De Gruyter, 1904. — С. 558–571. — (Berline Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9.
Robert L. Jr. Griess. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4.
Émile Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1861. — Т. 6. — С. 241–323.
Émile Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1873. — Т. 18. — С. 25–46. (недоступная ссылка) Язык: Французский
Miller G. A. On the supposed five-fold transitive function of 24 elements and 19!/48 values. // Messenger of Mathematics. — 1898. — Т. 27. — С. 187–190.
Miller G. A. Sur plusieurs groupes simples // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1900. — Т. 28. — С. 266–267.
Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9. (an introduction for the lay reader, describing the Mathieu groups in a historical context)
Thomas M. Thompson. From error-correcting codes through sphere packings to simple groups. — Mathematical Association of America, 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7.
Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlin / Heidelberg, 1938a. — Т. 12. — С. 265–275. — ISSN 0025-5858. — doi:10.1007/BF02948948.
Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. — Т. 12. — С. 256–264. — doi:10.1007/BF02948947.
Lieven le Bruyn. Monsieur Mathieu. — 2007. Архивировано 1 мая 2010 года.

Ссылки

ATLAS: Mathieu group M₁₀ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₁₁ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₁₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₂₀ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₂₁ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₂₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₂₃ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
ATLAS: Mathieu group M₂₄ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
How to Make the Mathieu Group M₂₄.
Mathieu group M₉ on GroupNames

Scientific American Архивная копия от 8 сентября 2008 на Wayback Machine A set of puzzles based on the mathematics of the Mathieu groups
Sporadic M12 Архивная копия от 2 декабря 2017 на Wayback Machine An iPhone app that implements puzzles based on M₁₂, presented as one «spin» permutation and a selectable «swap» permutation

[_a39567fe66446468-1] Mathieu, 1861.

[_c2a8aae421baae79-2] ¹ ² Mathieu, 1873.

[_b66ba8ae64a1163a-3] Mathieu, 1861, с. 271.

[_f777e7dbd905030c-4] Miller, 1898.

[_4369ce897fcf3cd6-5] Miller, 1900.

[_c84a905b8971d643-6] Witt, 1938a.

[_06d51666fab3249c-7] Witt, 1938b.

[_8b5cc4f32b331754-8] Cameron, 1999, с. 110.

[_9314d96478dd1742-9] Carmichael, 1956, с. 151, 164, 263.

[_e7ba8f32953e0f3e-10] Dixon, Mortimer, 1996, с. 209.

[_0e3711b0c01734d5-11] Curtis, 1984.

[12] Буквально — детский рисунок (фр.). Термин предложил Гротендик для одного из видов вложения графов.

[_0fbfc4801f5c416b-13] Bruyn, 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]