Гомеоморфизм графов

Два графа $G$ и $G'$ гомеоморфны, если существует изоморфизм некоторого подразделения графа $G$ и некоторого подразделения графа $G'$ ^[1]. Если рёбра графа понимать как отрезки, соединяющие вершины (как обычно рисуется на иллюстрациях), то два графа гомеоморфны в контексте теории графов, когда они гомеоморфны в топологическом смысле.

Подразделение и исключение

В общем случае подразделение графа G (иногда используется термин расширение^[2] или подразбиение) — это граф, полученный делением рёбер в G. Деление некоторого ребра e с конечными вершинами {u,v} даёт граф, содержащий новую вершину w и два ребра {u,w} и {w,v} вместо ребра e^[1].

Например, ребро e с концами {u,v}:

может быть разделено на два ребра, e₁ и e₂:

Обратная операция, исключение вершины w с инцидентными ей рёбрами (e₁ ,e₂), заменяет смежные вершине w оба ребра (e₁ ,e₂) на новое ребро, соединяющее конечные точки пары. Следует подчеркнуть, что данная операция применима только к вершинам, инцидентным в точности двум рёбрам.

Например, простой связный граф с двумя рёбрами e₁ {u,w} и e₂ {w,v}:

имеет вершину (с именем w), которая может быть исключена, в результате получим:

Определение, гомеоморфен ли граф H подграфу G, является NP-полной задачей^[3].

Барицентрические подразделения

Барицентрическое подразделение разбивает каждое ребро графа. Это специальный вид подразделения, дающий всегда двудольный граф. Эту процедуру можно повторять, так что n-ое барицентрическое подразделение является барицентрическим подразделением подразделения n-1. Второе такое подразделение всегда является простым графом.

Вложение в поверхность

Очевидно, что подразделение графа сохраняет планарность. Теорема Понтрягина — Куратовского утверждает, что

конечный граф является планарным тогда и только тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного K₅ (полный граф с пятью вершинами), или K_3,3 (полный двудольный граф с шестью вершинами, из которых три соединены с каждой из оставшихся трёх).

Фактически, граф, гомеоморфный K₅ или K_3,3, называется подграфом Куратовского.

Обобщение, следующее из теоремы Робертсона — Сеймура, утверждает, что для любого целого g существует конечное препятствующее множество графов $L(g)=\{G_{i}^{(g)}\}$ , такое, что граф H вложим в поверхность рода g тогда и только тогда, когда H не содержит копии, гомеоморфной какому-либо графу $G_{i}^{(g)}$ . Например, $L(0)=\{K_{5},K_{3,3}\}$ состоит из подграфов Куратовского.

Пример

В следующем примере графы G и H гомеоморфны.

G	H

Если граф G' создан подразделением внешних рёбер графа G, а граф H' создан подразделением внутренних рёбер графа H, то G' и H' имеют похожие графические представления:

G', H'

Таким образом, существует изоморфизм между графами G' и H', что и означает, что G и H гомеоморфны.

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Яблонский, 1986, с. 225.
↑ Trudeau, 1993, с. 76, Definition 20.
↑ Более широко изучаемая в литературе задача с именем «задача гомеоморфизма подграфов» спрашивает, изоморфно ли подразделение графа H подграфу G. Если H является циклом с n вершинами, задача эквивалентна задаче нахождения гамильтонова цикла, а потому NP-полна. Однако эта формулировка эквивалентна только вопросу, гомеоморфен ли граф H подграфу G, когда H не содержит вершин степени два, поскольку это не позволяет исключения в H. Можно показать, что поставленная задача NP-полна путём небольшой модификации гамильтонова цикла — добавляем по одной вершине в H и G, смежные всем другим вершинам. Тогда увеличенный на одну вершину граф G содержит подграф, гомеоморфный колесу с (n + 1) вершинами, тогда и только тогда, когда G гамильтонов. По поводу сложности задачи гомеоморфизма подграфа смотрите статью ЛаПауга и Ривеста (LaPaugh, Rivest 1980).

Литература

Richard J. Trudeau. Определение 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G. // Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York, 1993. — С. 76. — ISBN 978-0-486-67870-2.
Andrea S. LaPaugh, Ronald L. Rivest. The subgraph homeomorphism problem // Journal of Computer and System Sciences. — 1980. — Т. 20, вып. 2. — С. 133–149. — doi:10.1016/0022-0000(80)90057-4.
Jay Yellen, Jonathan L. Gross. Graph Theory and Its Applications. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2005. — (Discrete Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-1-58488-505-4.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1986.

[_5fbea41dc95cdfd9-1] ¹ ² Яблонский, 1986, с. 225.

[_7d698e536da7da7f-2] Trudeau, 1993, с. 76, Definition 20.

[3] Более широко изучаемая в литературе задача с именем «задача гомеоморфизма подграфов» спрашивает, изоморфно ли подразделение графа H подграфу G. Если H является циклом с n вершинами, задача эквивалентна задаче нахождения гамильтонова цикла, а потому NP-полна. Однако эта формулировка эквивалентна только вопросу, гомеоморфен ли граф H подграфу G, когда H не содержит вершин степени два, поскольку это не позволяет исключения в H. Можно показать, что поставленная задача NP-полна путём небольшой модификации гамильтонова цикла — добавляем по одной вершине в H и G, смежные всем другим вершинам. Тогда увеличенный на одну вершину граф G содержит подграф, гомеоморфный колесу с (n + 1) вершинами, тогда и только тогда, когда G гамильтонов. По поводу сложности задачи гомеоморфизма подграфа смотрите статью ЛаПауга и Ривеста (LaPaugh, Rivest 1980).

[1]

[2]

[3]