Вложение

Вложение (или включение) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта $X$ в $Y$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются $X$ и $Y$ . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом.

То, что отображение $f:X\to Y$ является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: $f:X\hookrightarrow Y$ .

Для заданных $X$ и $Y$ может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные. В таких случаях обычно задают область определения $X$ с образом $f(X)\subset Y$ , такую что $X\subseteq Y$ .

Геометрия и топология

Общая топология

Отображение топологических пространств $f:X\to Y$ называется вложением $X$ в $Y$ , если $f:X\to f(X)\subset Y$ — гомеоморфизм^[1] (на $f(X)$ рассматривается топология, индуцированная с $Y$ ). Каждое вложение непрерывно и инъективно.

Для пространства $X$ существование вложения $X\to Y$ — топологический инвариант. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в $Y$ , а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть $M,N$ — гладкие многообразия и $f:M\to N$ — гладкое отображение. Оно называется погружением, если дифференциал $df$ отображения $f$ всюду инъективен. Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ).^[2]

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки $x\in M$ существует окрестность $U\subset M,x\in U$ , такая что $f:U\to N$ — вложение).

Важный частный случай — когда N=Rⁿ. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n. Теорема Уитни о вложении^[3] утверждает, что достаточно n=2m, где m — размерность многообразия.

Алгебра

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец $f\colon A\to B$ . Так как $f(A)$ является подкольцом кольца $B$ , то вложение $f$ устанавливает изоморфизм между кольцами $A$ и $f(A)$ .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы, любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ: A → B, который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A, и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg: C → B, то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие, известное как фактор.

См. также

Погружение (топология)

Примечания

↑ Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9, page 16.
↑ Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3, page 22.
↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.

[1] Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9, page 16.

[2] Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3, page 22.

[3] Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), 645—680.

[1]

[2]

[3]