Гипотеза Чебышёва

Гипотеза Чебышёва (смещение Чебышёва) — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа $X$ суммарное количество простых чисел вида $4k+3$, таких что $p<X$, будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида $4k+1$ . Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.

Если $\pi (x;a,b)$ — число простых вида $ak+b$, не превышающих $x$ (по аналогии с функцией распределения простых чисел), то в соответствии с теоремой о распределении простых чисел, распространённой на арифметическую прогрессию:

$\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {x}{\log x}}$.

То есть первая половина простых чисел должна быть вида $4k+1$, и другая — $4k+3$. Может казаться, что случаи $\pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)$ и случаи $\pi (x;4,1)<\pi (x;4,3)$ должны встречаться в 50 % всех исходов каждый; но это противоречит эмпирическим свидетельствам — последний случай справедлив для всех простых $x<26833$, кроме 5, 17, 41 и 461, для которых $\pi (x;4,1)=\pi (x;4,3)$.

В общем случае, если $a>0$ и $b<q$ — взаимно простые целые числа, $(a,q)=(b,q)=1$, где первое число $a$ является квадратичным остатком, а второе число $b$ не является квадратичным остатком по модулю $q$, тогда $\pi (x;q,a)<\pi (x;q,b)$ по эмпирическим наблюдениям случается чаще, чем в противоположном случае. Общий случай также доказан в предположении справедливости сильной формы гипотезы Римана. Однако предположение 1962 года о том, что плотность простых чисел $x$ для которых выполняется $\pi (x;4,1)<\pi (x;4,3)$ равна 1, оказалось ложным: они имеют логарифмическую плотность, примерно равную 0,9959.

Ссылки

• P. L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
• Granville, Andrew; Martin, Greg. Prime number races (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 2006. — Vol. 113. — P. 1—33. — .
• J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159—171.
• Rubinstein, M.; Sarnak, P. Chebyshev’s bias (англ.) // Experimental Mathematics : journal. — 1994. — Vol. 3. — P. 173—197. — doi:10.1080/10586458.1994.10504289.
• Weisstein, Eric W. Chebyshev Bias (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.