Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.

Синий график $\prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}$ для уравнения $y^{2}=x^{3}-5x$, где $N_{p}$ — количество точек на кривой по модулю $p$.
$X$ находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — $\log(\log(X))$; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае $y^{2}=x^{3}-5x$ ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах, Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг $r$ эллиптической кривой $E$ над полем $K$ равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля $L(E,s)$ в точке $s=1$. Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел $B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r}}}$, где значение $B_{E}$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположено , что верна асимптотика

$\prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ при }}x\rightarrow \infty$

где $N_{p}$ — число целых точек на кривой $E$ с рангом $r$ по модулю $p$, $C$ — константа.

При условии, если один из рядов имеет решение.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых.

Наиболее важные результаты

В 1977 году Джон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая $E$ содержит бесконечно много рациональных точек, то $L(E,1)=0$.

В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при $s=1$, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);

В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая $E$, для которой $L(E,1)$ не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая $E$, для которой $L(E,1)$ имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 году Карл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем $K$ с комплексным умножением на $K$, если $L$-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел $p>7$.

В 1999 году Кристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что $L$-функции всех эллиптических кривых над $Q$ определены при s = 1.

В 2015 году Арул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля для эллиптической кривой над $Q$ ограничен сверху величиной 7/6.

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Бёрч, Брайан; Свиннертон-Дайер, Питер (1965). "Notes on Elliptic Curves (II)". J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79—108. doi:10.1515/crll.1965.218.79.