Функция Вейерштрасса

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

График функции Вейерштрасса с параметрами a = 3, b = 1/2 на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

$w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),$

где $a$ — произвольное нечётное число, не равное единице, а $b$ — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

$\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},$

поэтому функция $w$ определена и непрерывна при всех вещественных $x$. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

$ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.$

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке $x_{0}$ строят две последовательности $\{x_{m}\}$ и $\{y_{m}\}$, сходящиеся к точке $x_{0}$, и доказывают, что отношения

${\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0}}}$ и ${\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0}}}$

имеют разные знаки по крайней мере при

$ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1$ и $a>1$.

Указанные последовательности могут быть определены как

$x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m}}}$ и $y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m}}},$

где $\gamma _{m}$ — ближайшее целое число к $a^{m}x_{0}$.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

$ab\geqslant 1$ и $a>1$

было установлено Харди.

Историческая справка

Запрос «Гипотеза Ампера» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

$r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2}}},$

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (англ. Joseph Gerver) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году.

В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию $w$ и представил строгое доказательство её недифференцируемости. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона.

Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

$v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},$

где фигурные скобки означают взятие дробной части.

Литература

• Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.