Паракомпактное пространство

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство универсальных множеств (${\mathcal {U}}$ множеств), лежащих в топологическом пространстве $X$, называется локально конечным в $X$, если у каждой точки $x\in X$ существует окрестность в $X$, пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ${\mathcal {U}}$; семейство ${\mathcal {U}}$ множеств вписано в семейство ${\mathcal {V}}$ множеств, если каждый элемент семейства ${\mathcal {U}}$ содержится в некотором элементе семейства ${\mathcal {V}}$.)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчинённые произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

• В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
  • если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
  • если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху.
• Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
• Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
• В классе хаусдорфовых пространств
  • Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом,
  • Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
• К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
• Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём компактом, то оно паракомпактно.
• Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
  • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку $x\in X$, непременно образует базу в этой точке.
• Все компакты паракомпактны, но
  • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Связанные определения

Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать точечно конечное открытое покрытие.

Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать звёздно конечное открытое покрытие.

Субпаракомпактное пространство (F_σ-просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.