Гауссова функция

Эта статья — о гауссовой функции в общей форме. О её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой — см. Нормальное распределение.

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

$g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$,

где параметры $a,b,c$ — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратическое отклонение $\sigma$ и математическое ожидание $\mu$:

$a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$, $b=\mu$, $c=\sigma$,

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания $\mu$ и среднеквадратичного отклонения $\sigma$

График гауссовой функции при $a>0$ и $c\neq 0$ — колоколообразная кривая, параметр $a$ определяет максимальную высоту графика — пик колокола, $b$ отвечает за сдвиг пика от нуля (при $b=0$ — пик в нуле), а $c$ влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр $c$ связан с полушириной колокола графика следующим образом:

$w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c$.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину $w$ колокола графика следующим образом:

$g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(x-b)^{2}}{w^{2}}}}$.

Перегибы $g(x)$ — две точки, в которых $x=b\pm c$.

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

$\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0$.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

$\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа:

$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}$.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

$a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}$,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием $\mu =b$ и дисперсией $\sigma ^{2}=c^{2}$.

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр $c$ свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: $c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}$. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщения

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
$A=1$,
$(x_{0},y_{0})=(0,0)$,
$a=c=1/2$,
$b=0$

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

$g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)}$,

здесь $A$ задаёт высоту колокола, $(x_{0},y_{0})$ определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а $(\sigma _{x},\sigma _{y})$ отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

$V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}$

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

$g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)$,

где матрица:

$\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]$

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в $n$-мерном евклидовом пространстве:

$g(x)=\exp(-x^{T}Ax)$,

где $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ — вектор-столбец из $n$ компонентов, $A$ — положительно определённая матрица размера $n\times n$, и $x^{T}$ — операция транспонирования над $x$.

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством $\mathbb {R} ^{n}$:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A}}}$.

Возможно определить $n$-мерный вариант и со сдвигом:

$g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)$,

где $s=(s_{1},\dots ,s_{n})$ — вектор сдвига, а матрица $A$ — симметричная ($A^{T}=A$) и положительно определённая.

Супергауссова функция

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень $P$:

$sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P}\right)$,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам $P_{x}$ и $P_{y}$:

$sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^{P_{y}}\right)$.

Применения

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

Литература

• L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gaussian Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Integrating The Bell Curve / MathPages (англ.)