Вектор-функция

Вектор-функция — функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве $\mathbb {V}$ двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• одна скалярная переменная — тогда значения вектор-функции определяют в $\mathbb {V}$ некоторую кривую;
• m скалярных переменных — тогда значения вектор-функции образуют в $\mathbb {V}$, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• векторная переменная — в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на $\mathbb {V}$.

Вектор-функция одной скалярной переменной

Для наглядности далее ограничимся случаем трёхмерного пространства, хотя распространение на общий случай не составляет труда. Вектор-функция одной скалярной переменной $\mathbf {r} (t)$ отображает некоторый интервал вещественных чисел $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$ в множество пространственных векторов (интервал может также быть бесконечным).

Выбрав координатные орты $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$, мы можем разложить вектор-функцию на три координатные функции x(t), y(t), z(t):

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}}$

Рассматриваемые как радиус-векторы, значения вектор-функции образуют в пространстве некоторую кривую, для которой t является параметром.

Предел вектор-функции

Вектор-функция $\mathbf {r} (t)$ имеет предел $\mathbf {r_{0}}$ при $t\to t_{0}$ (или при $t\to \infty$), если

$\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0\quad (\lim _{t\to \infty }|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0)$

(здесь и далее $|\mathbf {v} |$ обозначает модуль вектора $\mathbf {v}$). Этот предел можно переписать без модуля:

$\lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} \quad (\lim _{t\to \infty }\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} ).$

Другими словами, это означает, что геометрически переменный вектор $\mathbf {r} (t)$ при $t\to t_{0}$ стремится к постоянному вектору $\mathbf {r_{0}}$ по длине и по направлению.

Предел вектор-функции

Выберем неподвижную точку $O$, в которую поместим начало переменного вектора $\mathbf {r} (t)={\overrightarrow {OR}}(t)$ (см. рисунок справа). В случае, когда при $t\to t_{0}$ подвижный конец $R$ переменного вектора ${\overrightarrow {OR}}(t)$ стремится к неподвижной точке $R_{0}$, неподвижный вектор ${\overrightarrow {OR_{0}}}=\mathbf {r_{0}}$ есть предел переменного вектора ${\overrightarrow {OR}}(t)=\mathbf {r} (t)$. Разность векторов $\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}}$ есть вектор ${\overrightarrow {R_{0}R}}(t)$, а модуль последнего бесконечно мал.

В случае, когда у вектор-функции $\mathbf {r} (t)$ её модуль $|\mathbf {r} (t)|$ бесконечно мал, сам вектор $\mathbf {r}$ называется бесконечно малым. Порядком малости такого вектора называется порядок малости его модуля $|\mathbf {r} |$.

Непрерывность вектор-функции определяется такими же способами, как непрерывность обычной скалярной функции (то есть следующим образом:

$\mathbf {r} (t)=\lim _{\Delta t\to 0}\mathbf {r} (t+\Delta t)$),

при этом непрерывность вектор-функции можно наглядно выразить как сплошную линию её годографа. Вектор-функция $\mathbf {r} (t)$ — непрерывная (векторная) функция аргумента $t$ тогда и только тогда, когда координаты вектора — тоже непрерывные (скалярные) функции от $t$.

Предел вектор-функции имеет обычные свойства.

• Предел суммы вектор-функций равен сумме пределов слагаемых (в предположении, что они существуют).
• Предел скалярного произведения вектор-функций равен скалярному произведению пределов сомножителей.
• Предел векторного произведения вектор-функций равен векторному произведению пределов сомножителей.

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf {r} (t)$ по параметру:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}$.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — производная суммы есть сумма производных
• ${\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}$ — здесь f(t) — дифференцируемая скалярная функция.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — дифференцирование скалярного произведения.
• ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — дифференцирование векторного произведения.
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)$ — дифференцирование смешанного произведения.

О применении вектор-функций одной скалярной переменной в геометрии см.: дифференциальная геометрия кривых.

Вектор-функция нескольких скалярных переменных

Для наглядности ограничимся случаем двух переменных в трёхмерном пространстве. Значения вектор-функции $\mathbf {r} (u,v)$ (их годограф) образуют, вообще говоря, двумерную поверхность, на которой аргументы u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности.

В координатах уравнение $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)$ имеет вид:

$x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)$

Аналогично случаю одной переменной, мы можем определить производные вектор-функции, которых теперь будет две: ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$. Участок поверхности будет невырожденным (то есть в нашем случае — двумерным), если на нём $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ не обращается тождественно в ноль.

Координатная сетка на сфере

Кривые на этой поверхности удобно задавать в виде:

$u=u(t);\ v=v(t)$,

где t — параметр кривой. Зависимости $u(t),\ v(t)$ предполагаются дифференцируемыми, причём в рассматриваемой области их производные не должны одновременно обращаться в нуль. Особую роль играют координатные линии, образующие сетку координат на поверхности:

$u=t;\ v=const$ — первая координатная линия.

$u=const;\ v=t$ — вторая координатная линия.

Если на поверхности нет особых точек ($\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ нигде не обращается в ноль), то через каждую точку поверхности проходят точно две координатные линии.

Подробнее о геометрических приложениях вектор-функций нескольких скалярных переменных см.: Теория поверхностей.

Источники

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Изд-е 3-е. М.: Высшая школа, 1966. 252 с., ил.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. (Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов») М.: Наука, 1978. 159 с., ил.