Вейвлет Хаара

Вейвлет Хаа́ра — один из первых и наиболее простых вейвлетов. Он основан на ортогональной системе функций, предложенной венгерским математиком Альфредом Хааром в 1909 году^[1]. Вейвлеты Хаара ортогональны, обладают компактным носителем, хорошо локализованы в пространстве, но не являются гладкими. Впоследствии Ингрид Добеши стала развивать теорию ортогональных вейвлетов и предложила использовать функции, вычисляемые итерационным путём, названные вейвлетами Добеши.

Построение вейвлета Хаара

Родительская (материнская) вейвлет-функция $\psi (x)$ с нулевым значением интеграла $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\,dx=0$ , определяющая детали сигнала, задается следующим образом:

$\psi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1/2\\-1,&1/2\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Масштабирующая функция $\varphi (x)$ с единичным значением интеграла $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=1$ , определяющая грубое приближение (аппроксимацию) сигнала, постоянна: $\varphi (x)={\begin{cases}1,&0\leqslant x<1\\0,&x\notin [0,\;1)\end{cases}}$

Преобразование Хаара

Преобразование Хаара используется для сжатия входных сигналов, компрессии изображений, в основном цветных и черно-белых с плавными переходами. Идеален для картинок типа рентгеновских снимков. Данный вид архивации известен довольно давно и напрямую исходит из идеи использования когерентности областей. Степень сжатия задается и варьируется в пределах 5-100. При попытке задать больший коэффициент на резких границах, особенно проходящих по диагонали, проявляется «лестничный эффект» — ступеньки разной яркости размером в несколько пикселов.

Преобразование Хаара для одномерного сигнала

Пусть имеется одномерный дискретный входной сигнал $S$ . Каждой паре соседних элементов ставятся в соответствие два числа: $a_{i}={\frac {S_{2i}+S_{2i+1}}{2}}$ и $b_{i}={\frac {S_{2i}-S_{2i+1}}{2}}$ . Повторяя данную операцию для каждого элемента исходного сигнала, на выходе получают два сигнала, один из которых является огрубленной версией входного сигнала — $a_{i}$ , а второй содержит детализирующую информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Аналогично, преобразование Хаара может быть применено к полученному сигналу $a_{i}$ и тд.

Пример

Пусть входящий сигнал представляется в виде строки из 8 значений яркости пикселов ( $S$ ): (220, 211, 212, 218, 217, 214, 210, 202). После применения преобразования Хаара получаются следующие две последовательности $a_{1}$ и $b_{1}$ : (215.5, 215, 215.5, 206) и (4.5, −3, 1.5, 4). Стоит заметить, что значения $b_{1}$ достаточно близки к 0. Повторяя операцию, применительно к последовательности $a_{1}$ , получаем: (215.25, 210.75) (0.25, 4.75).

На примере преобразования Хаара хорошо видна структура дискретного вейвлет-преобразования сигнала. На каждом шаге преобразования сигнал распадается на две составляющие: приближение с более низким разрешением (аппроксимацию) и детализирующую информацию.

Преобразование Хаара для двумерного сигнала

Двумерное преобразование Хаара — это не что иное, как композиция одномерных преобразований Хаара. Пусть двумерный входной сигнал представляется матрицей $S$ . После применения одномерного преобразования Хаара к каждой строке матрицы $S$ получаются две новые матрицы, строки которых содержат аппроксимированную и детализирующую часть строк исходной матрицы. Аналогично к каждому столбцу полученных матриц применяют одномерное преобразование Хаара и на выходе получают четыре матрицы, одна из которых является аппроксимирующей составляющей исходного сигнала, а три оставшиеся содержат детализирующую информацию — вертикальную, горизонтальную и диагональную.

См. также

Примечания

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Math. Ann., 69 (1910), 331—371, 71 (1912), 33—53

[1] Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, Dissertation (Gottingen, 1909); Math. Ann., 69 (1910), 331—371, 71 (1912), 33—53

[1]