Атлас (топология)

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть $K$ — числовое поле (например $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), $X$ — топологическое пространство.

• Карта — это пара $(U,f)$, где

$U$ — открытое множество в $X$

$f$ — гомеоморфизм из $U$ в открытое множество в $K^{n}$

• Локальная карта вводит в $U$ криволинейные координаты, сопоставляя точке $x=f^{-1}(t)$ набор чисел $t=(t^{1},...,t^{n})$

• Если области определения двух карт $(U_{1},f_{1})$ и $(U_{2},f_{2})$ пересекаются ($U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$), то между множествами $f_{1}(U_{2})$ и $f_{2}(U_{1})$ имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки :

  ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrix}}$

• Атлас — это множество согласованных карт $\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\}$, $\alpha \in {\mathcal {A}}$, такое, что $\{U_{\alpha }\}$ образует покрытие пространства $X$. Здесь ${\mathcal {A}}$ — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса $C^{k}$) или аналитическим, если функции замены координат $f_{\alpha _{1}\alpha _{2}}$ для всех карт гладкие (класса $C^{k}$) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.