Однородный многочлен

Не следует путать с однородными уравнениями.

Одноро́дный многочле́н — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую сумму степеней. Любая алгебраическая форма является однородным многочленом. Квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, бинарная форма — однородным многочленом любой степени от двух переменных.

Примеры

$x^{2}+y^{2}$ — однородный многочлен;

$x^{3}+2xy^{2}$ — однородный многочлен;

$x^{4}+qxyz$ — однородный многочлен;

$x+yz$ — неоднородный многочлен.

Вариации и обобщения

Однородная функция.

Пусть группа $G$ действует на векторах из переменных. Многочлен $P(z)$ называется обобщенно-однородным (относительно действия группы), если для любого элемента $g$ группы $P(gz)\equiv hP(z)$, где множитель $h$ зависит только от $g$. Величина (степень, класс, либо другая характеристика) множителя $h$ называется степенью однородности многочлена.

Например, любой однородный многочлен является обобщённо-однородным относительно диагонального действия алгебраического тора:

$g\in \mathbb {C} \setminus \{0\}:g(z_{1},\dots ,\,z_{n})=(gz_{1},\dots ,\,gz_{n}),$

поскольку

$P(gz)=\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(gz)^{\alpha }=g^{k}\sum _{|\alpha |=k}c_{\alpha }(z)^{\alpha }=g^{k}P(z).$

В данном случае степень однородности многочлена $k$ совпадает с его степенью.