Абсолютный ретракт

Абсолютный ретракт — метризуемое пространство $X$ которое является ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего $X$ в качестве замкнутого подпространства.

Связанные определения

• Метризуемое пространство $X$ называется абсолютным окрестностным ретрактом, если оно является окрестностным ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего $X$ в качестве замкнутого подпространства.

Свойства

• Метризуемое пространство $Y$ является абсолютным ретрактом в том и только в том случае, если, каковы бы ни были метризуемое пространство $X$, его замкнутое подпространство $A$ и непрерывное отображение пространства $A$ в $Y$, его можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства $X$ в $Y$.
• Для того чтобы метризуемое пространство $X$ было абсолютным ретрактом, необходимо, чтобы оно было ретрактом некоторого выпуклого подпространства линейного нормированного пространства, и достаточно, чтобы $X$ было ретрактом выпуклого подпространства локально выпуклого линейного пространства.
  • Таким образом, все выпуклые подпространства локально выпуклых линейных пространств являются абсолютными ретрактами; в частности, таковы точка, отрезок, шар, прямая и т. д. Из приведенной характеристики вытекают следующие свойства абсолютных ретрактов:
    • Всякий ретракт абсолютного ретракта снова есть абсолютный ретракт
    • Каждый абсолютный ретракт стягиваем по себе и локально стягиваем.
    • Все гомологические, когомологические, гомотопические и когомотопические группы абсолютного ретракта тривиальны.